Fraktální geometrie a fraktály
Do doby, než byla objevena a popsána fraktální geometrie, byla euklidovská geometrie považována za nejsilnější nástroj popisu všech geometrických útvarů. Euklidovská geometrie byla s úspěchem používána po celá staletí, avšak její slabinou, kterou si prakticky nikdo neuvědomoval, byl problém jak popsat jednoduchým způsobem složitě strukturované útvary. Tyto útvary mohly být jak matematického, tak i přírodního původu.
Běžné objekty jako úsečky, kruhy, čtverce, trojúhelníky, obdélníky, koule, krychle, jehlany lze poměrně snadno popsat pomocí euklidovské geometrie. Například pravoúhlý trojúhelník je plně popsán (každý jeho bod je jednoznačně určen) Pythagorovou větou [10, 11]. Pokud by bylo třeba popsat jednoduchý fraktál jako je například Kochova křivka (obr. 2.1), pak by bylo nutné stanovit složitou a nepřehlednou rovnici. Tento objekt však může být jednoduše popsán pomocí fraktální geometrie. Její složitost lze dokonce popsat pomocí jednoho čísla, tzv. fraktální dimenze.
K pochopení celého problému je vhodné si odpovědět na pět základních otázek:
Co je to fraktální geometrie a fraktál?
Co je to fraktální (Hausdorff-Besicovitchova) dimenze?
Jak lze fraktály rozčlenit, jaká je jejich "konstrukce"?
Jaké mají fraktály vlastnosti?
Kde se fraktály vyskytují?
Co je to fraktální geometrie a fraktál?
Fraktální geometrie je matematický nástroj pro popis složitě strukturovaných objektů, jejichž charakter se nemění při určitém zvětšení nebo zmenšení. Vhodným příkladem je tvar pobřežní linie. Pokud jsou srovnány dvě mapy různých měřítek, pak charakter pobřežní linie se nemění – pobřeží na obou mapách vypadá stejně. To znamená, že pobřežní linie je měřítkově neměnná, či jinak, nemá charakteristické délkové měřítko [1]. Benoit Mandelbrot si položil jinou otázku: Jaká je podstata tvaru pobřeží? Ta se stala mezníkem úvah v jeho práci: „Jak dlouhé je pobřeží Velké Británie?“ (1977). Tato na první pohled jednoduchá otázka však po chvíli úvah nabývá hlubšího smyslu. Mandelbrot vyšel z poznatků Richardsona, který měřil ostrov Korsiku( více v kapitole Fraktální (Hausdorff-Besicovitch) dimenze DH a Obvodová metoda . Mandelbrot použil pro změření délky pobřeží Velké Británie nejprve satelitních map, v druhém případě pak map turistických. Došel k závěru, že délka změřená z map turistických je 2x až 3x delší než délka změřená z map satelitních. Důvod je následující: turistické mapy jsou mnohem podrobnější než mapy satelitní, což způsobí, že při měření délky pobřeží pomocí mapy satelitní je mnoho detailů zanedbáno či přehlédnuto a tyto detaily se projeví jako důležité při měření z map turistických. Richardson empiricky odvodil vztah mezi délkou a měřítkem. Mandelbrot pak našel souvislosti v tomto vztahu s Hausdorffovou dimenzí a mohl tak označit pobřežní linii za fraktál [5, 7, 11].
Označení fraktál tedy poprvé použil B. Mandelbrot. Ten je také označován za „otce“ fraktální geometrie. Je však pravdou, že matematické objekty dnes označované jako klasické fraktály (přesněji matematické deterministické fraktály), byly objeveny mnohem dříve, včetně Kochovy křivky. Mandelbrot však tyto objekty popsal, nazval a spolu s dalšími matematiky sjednotil teorii, která je označována jako fraktální geometrie. Mandelbrot slovo „fraktál“ použil pro všeobecné označení objektů, jejichž tvar je nezávislý na velikosti měřítka, pod kterým objekt pozorujeme (měřítková neměnnost). Vyšel z významu latinského slova "fractus". Z něj odvozené slovo "frangere" znamená "rozlámat" - vytvořit nepravidelné úlomky. Jako fraktály se tedy označují nepravidelné geometrické útvary dělitelné na jednotlivé části, z nichž každá je v ideálním případě zmenšenou kopií celku. Jsou to tedy množiny, jejichž geometrický motiv se opakuje v základním tělese a tento jev je nazýván soběpodobnost (self-similarity). Objekt je tedy striktně soběpodobný (deterministický), pokud může být rozdělen na libovolně malé části, které jsou malou replikou původní množiny [1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11]. Matematické fraktály mohou být také statisticky soběpodobné (stochastické), stejně jako fraktály přírodní, kdy jsou malé úlomky podobné celku jen statisticky..
Vedle soběpodobných fraktálů existují také fraktály soběafinitní (self-affined, soběpříbuzné). U těchto fraktálů je třeba znát vedle struktury nepravidelných úlomků i způsob transformace měřítka (více v Soběpříbuznost a Hurstův exponent . Čtenář se může také setkat s názvem samopodobnost. Dál se lze setkat s pojem soběpříbuznost [11],který charakterizuje objekty, jejichž kterýkoliv výsek je podobnou kopií původního tělesa.
Co je to fraktální (Hausdorff-Besicovitchova) dimenze
Ve fraktální geometrii je počítána nebo odhadována tzv.fraktální dimenze, která je „charakteristickým číslem“, udávajícím jak složitý je pozorovaný útvar. Může se jednat o povrch nebo strukturu tělesa, časovou řadu nebo množinu bodů. Fraktální dimenze (lze se také setkat s pojmem Hausdorff-Besicovitchova dimenze) matematicky popisuje složitost těchto objektů (více v Fraktální (Hausdorff-Besicovitch) dimenze DH).Fraktální dimenze, v případě fraktálů, převyšuje jejich topologickou dimenzi, která je celočíselná (dimenze charakterizované bodem, úsečkou, trojúhelníkem a tetraedrem). Z tohoto předpokladu vychází také jedna z definic fraktálů.